sábado, 29 de septiembre de 2007

Capítulo I: El Quinto Postulado




Hacia finales del siglo IV apareció publicado un libro titulado Los Elementos que inmortalizaría a un matemático de la antigua Grecia llamado Euclides, el cual resumió en trece libros (que en la actualidad son conocidos simplemente como los trece capítulos del libro) los desarrollos que había logrado en esa época la primera rama fundamental de las matemáticas desarrollada de una manera lógica y formal: la Geometría plana (también conocida como planimetría). La obra quedó dividida en las siguientes secciones:

Libros I-IV: La Geometría de Triángulos y Círculos

Libros V-VI: Teoría de las Proporciones Geométricas

Libros VII-IX: Teoría de los Números

Libro X: Teoría de los Números Irracionales

Libros XI-XIII: Geometría Sólida

El libro de Euclides estableció la metodología rigurosa que aún se utiliza hoy en día desde las matemáticas más elementales de la escuela secundaria hasta las matemáticas de vanguardia con las cuales se llevan a cabo las más avanzadas investigaciones y desarrollos en las instituciones universitarias: se empieza con un conjunto de definiciones y de axiomas (verdades tan evidentes que nadie las pondrá en tela de duda) con los cuales se empiezan a llevar a cabo demostraciones de otras proposiciones cuya veracidad ya no es tan evidente, proposiciones llamadas teoremas. Para que un teorema pueda ser aceptado como válido, es requisito indispensable que pueda ser deducido a partir de los axiomas básicos (o postulados) que se usan como punto de partida. Entanto que tal cosa no pueda ser lograda, la veracidad del teorema quedará en tela de duda, y en vez de llamársele teorema se le llamará simplemente una conjetura.

Los “ladrillos” fundamentales con los cuales Euclides construyó su obra, sus puntos de partida, sus diez postulados, son los siguientes:


AXIOMAS DE LA GEOMETRIA EUCLIDEANA


Postulado 1: Entre dos puntos se puede trazar una línea recta única.

Postulado 2: Una línea se puede extender indefinidamente en ambas direcciones.

Postulado 3: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado 5: Si dos líneas rectas, al intersectarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (menor que 180 grados), resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos.

Postulado 6: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Postulado 7: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.

Postulado 8: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.

Postulado 9: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.

Postulado 10: El todo es mayor que la suma de sus partes.


Todos, absolutamente todos los teoremas de la geometría “clásica” se pueden obtener a partir de los diez postulados dados por Euclides.

Sin embargo, si volvemos a leer los diez postulados, resalta de inmediato que el quinto postulado parece ser demasiado elaborado, demasiado complicado. Lo cual suscita de inmediato una pregunta: ¿no será posible obtener dicho postulado combinando de varias maneras los otros nueve postulados? A continuación se muestra más claramente lo que nos quiso decir Euclides con su quinto postulado:




En el diagrama, si dos líneas rectas (en este caso la línea AB y la línea CD), las cuales obviamente no son líneas paralelas, al intersectarse con una tercera (en este caso la línea EF), forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (obsérvese que la suma de los ángulos internos m y n es menor que 180 grados, lo cual se puede verificar midiendo los ángulos con un transportador y sumándolos), al prolongarlas ilimitadamente, se cruzarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos, o sea que en este caso al ser prolongadas se encontrarán por el lado derecho.

No es difícil ver que si las líneas rectas AB y CD se hubieran dibujado de tal forma que fuesen lo que llamamos rectas paralelas, entonces al intersectarse con la tercera línea recta EF habrían formado ángulos internos m y n cuya suma habría sido igual a dos ángulos rectos, o sea igual a 180 grados, definidos por construcción como ángulos alternos internos, y en tal caso las líneas rectas jamás se encontrarían ni del lado derecho ni del lado izquierdo al prolongarlas ilimitadamente, lo cual es una forma un poco elaborada de decir que dos líneas paralelas nunca se cruzan. Y como esto ocurre únicamente cuando la suma de los dos ángulos internos m y n es exactamente igual a 180 grados, esto significa que sólo es posible trazar una recta paralela a otra recta dada. (Esta es una buena ocasión para señalar que el símbolo de la igualdad que tanto se utiliza en las expresiones matemáticas como A.=.B en realidad viene de la representación de dos líneas paralelas pequeñas, destacando con ello que desde los tiempos de la Edad Media se consideraba que no había nada más igual entre sí que dos líneas paralelas.)

Tal y como enunció Euclides el “quinto postulado”, posiblemente no sea familiar para muchos hasta que no lo reemplacemos por otro enunciado que le es completamente equivalente, el postulado de las paralelas que se enseña en las escuelas, concebido por John Playfair (1748-1819) y que dice: a través de un punto P situado afuera de una línea recta sólo se puede trazar una recta paralela a la recta dada. En realidad, se trata de formas diferentes de hablar de la misma cosa.

Se puede demostrar, dentro de la geometría Euclideana y usando argumentos sencillos, que todos los siguientes enunciados son equivalentes al quinto postulado, cada uno de ellos conduce, individualmente, a cualquiera de los demás. Son en realidad la misma cosa, pero con ropaje diferente:

(1) Dada una recta l y un punto P que no esté situado en dicha línea, existe precisamente una sola línea en el plano en el que se encuentran la recta l y el punto P que no se intersectará con l.

(2) La suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180 grados (dos ángulos rectos).

(3) La razón de la circunferencia al diámetro de un círculo (pi) es la misma para cualquier círculo, independientemente de su tamaño.

(4) Dado cualquier triángulo, existen triángulos arbitrariamente mayores y arbitrariamente menores cuyos lados están en la misma proporción uno con respecto al otro (relación de semejanza).

(5) El teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados.


Como ya se dijo, lo elaborado del quinto postulado hace sospechar que en vez de ser una verdad “fundamental” se trata de algo que posiblemente pueda ser deducido a partir de cosas más elementales, en este caso de una combinación inteligente de los otros nueve axiomas, en cuyo caso el postulado dejaría de ser un postulado y pasaría a ser un teorema. Como fue enunciado originalmente, el quinto postulado no parece ser una verdad tan evidente, no parece ser un axioma, más bien parece ser un teorema capaz de ser demostrado con otros principios más elementales. Y el tratar de derivar el quinto postulado de los otros nueve llegó a convertirse en una verdadera obsesión que consumió las vidas de muchos mateméticos de la antiguedad inclusive hasta los albores del Renacimiento. El matemático inglés John Wallis (1616-1703) dedicó un libro suyo, De postulato quinto, para recopilar los numerosos intentos que se habían llevado a cabo para intentar demostrar el quinto postulado. De 1607 a 1880, más de mil libros, ensayos, trabajos y memorias habían sido dedicados al quinto postulado. Sin embargo, todos los intentos para demostrarlo a partir de otros axiomas más elementales resultaron ser defectuosos, ninguno de ellos podía resistir un examen serio. A manera de ejemplo, en 1834 en el volumen 11 del Journal für Mathematik se publicó lo que intentó ser una demostración seria, de buena fé, del quinto postulado, basada en la siguiente figura:


Esta “demostración” procedió de la siguiente manera. El geómetra trazó por B la recta BY paralela a CD, y construyó los ángulos ABN, NBO, OBP y PBQ, cada uno de ellos iguales al ángulo YBA. Razonó correctamente que cualquiera que fuera la magnitud del ángulo YBA, podía, construyendo suficientes ángulos ABN, NBO, etc., llegar finalmente a uno cuyo lado (en la figura, BQ) caiga por debajo de la línea BZ. Supongamos que hay una cantidad n de esos ángulos (en la figura hay cuatro). Señaló entonces n segmentos, CE, EG, GJ, etc., cada uno de ellos iguales a BC, y por los puntos de división trazó las rectas EF, GH, JK, etc., paralelas a CD. Hasta aquí todos los pasos son correctos. Pero el problema es que comenzó a comparar áreas infinitas. Mantenía, por ejemplo, que el área limitada por las rectas indefinidas BY y BA es igual al área infinita limitada por las rectas BA y BN, y que el área infinita limitada en sus tres lados por el segmento de recta BC y las rectas indefinidas BY y CD es igual al área infinita limitada en tres lados por el segmento de recta CE y las rectas indefinidas CD y EF. O como decía él, que el área YBA , es igual al área ABN, y el área YBCD es igual al área DCEF.

Supóngase por un momento que este razonamiento y los razonamientos semejantes acerca de áreas infinitas son válidos. El resto de la demostración es entonces: El área YBLM es igual a n veces el área YBCD, y el área YBQ es igual a n veces el área YBA. Pero el área YBLM no es más que una parte del área YBZ, mientras que el área YBZ es a su vez sólo una parte de la YBQ. Por lo tanto, n veces el área YBCD es menor que el área YBZ, que a su vez es menor que n veces el área YBA. Es decir que n*(YBCD) es menor que n*(YBA), o que YBCD es menor que YBA. Pero si ese es el caso, AB ha de cortar a CD. Porque si AB no cortara a CD, YBCD sería igual a la suma de YBA y ABCD, y por lo tanto sería mayor que YBA.

El problema con esta “demostración”, como ya se dijo, es que las áreas consideradas son infinitas. De dos áreas finitas se puede decir que la primera es menor, igual o mayor que la segunda. Pero es imposible comparar dos área infinitas; de ellas sólo se puede decir que son infinitas.

El tipo de demostración errónea más difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por ejemplo: “la perpendicular y la oblicua respecto a una recta se cortan”, “existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste”, “el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentra a un mismo lado de ésta, es una recta”, “a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar o bien una recta o bien una circunferencia”. Pero si el axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, entonces todas estas proposiciones son erróneas. Por lo tanto, admitiendo cualquiera de estas proposiciones como un axioma, entonces el quinto postulado es justo, es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar. Hasta la fecha nadie ha podido derivar el quinto postulado de los otros postulados enunciados por Euclides, y existe ya un consenso generalizado de que tal cosa no es posible. Y aún modificado por John Playfair a su expresión aparentemente más sencilla (a través de un punto situado fuera de una recta solamente se puede trazar una recta paralela a la recta dada), el problema es que se supone que el enunciado siempre será válido cuando las líneas rectas son prolongadas hasta el infinito, y es precisamente en los malos manejos matemáticos del infinito en donde científicos de renombre han cometido sus peores errores incurriendo en sus mayores fracasos. Nosotros no sabemos lo que hay más allá de lo que nuestros más potentes telescopios satelitales como el Hubble alcanzan a ver, no sabemos qué propiedades pueda tener el espacio a distancias tan enormes. Inclusive si el espacio y todo lo que hay dentro de él se va contrayendo o expandiendo a grandes distancias, eso es algo que es imposible de deducir del quinto postulado. El quinto postulado en la versión que nos ha sido dada por Playfair supone que las propiedades del espacio en que vivimos se mantendrán iguales hasta el infinito, y esa es una generalización extremadamente temeraria que en los hechos es imposible de probar. Así, en vez de que sea el espacio el que defina la validez del quinto postulado de Euclides, es el quinto postulado de Euclides en la versión de Playfair el que define las propiedades que debe tener el espacio a grandes distancias, pretendiendo substituír la evidencia experimental por concepciones puramente mentales. En realidad, la versión original dada por Euclides, aunque más elaborada, es superior a la versión dada por Playfair, por el hecho de que la versión de Euclides no afirma que dos rectas paralelas no se encontrarán en el infinito, especificando por el contrario las condiciones bajo las cuales dos rectas cualesquiera trazadas sobre un plano sí se llegarán a encontrar.

Es posible que Euclides no haya estado muy contento con la inclusión de su quinto postulado en su obra Los Elementos por las razones citadas. Sin embargo, no es posible recurrir al recurso simplístico de eliminarlo y trabajar únicamente con los nueve postulados restantes, porque hay muchos teoremas en la geometría Euclideana que no pueden ser demostrados si se elimina el quinto postulado. El quinto postulado, pese a las sospechas que suscitaba, era (y sigue siendo) un mal necesario.

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